4.4.1. Comparaison des AIC

D’après ce qui a été réalisé précédemment nous comparons les AIC des deux modèles ARMA(3,3)-GARCH(2,1) sged et ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged :

comp<-matrix(nrow = 2, ncol = 1)
comp[1,1]<-infocriteria(garch21)[1]
comp[2,1]<-infocriteria(egarch21)[1]
comp<-data.frame(comp)
colnames(comp)<-"Valeur de l'AIC"
rownames(comp)<-c("ARMA(3,3)-GARCH(2,1) sged", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged")
p.table(comp, "Comparaison des AIC")

rm(comp, garch21)

Le meilleur modèle est d’assez loin le modèle à volatilité eGARCH. C’est celui que nous retiendrons. Intéréssons nous maintenant à ses coefficients.

egarch21@fit$coef

##            mu           ar1           ar2           ar3           ma1 
##  0.0001718297 -0.0768908552 -0.6644951238  0.5110208741  0.0091052680 
##           ma2           ma3         omega        alpha1        alpha2 
##  0.6283683601 -0.5687746472 -0.1931395105 -0.2667631153  0.1323196434 
##         beta1        gamma1        gamma2          skew         shape 
##  0.9792846055 -0.1612302291  0.2904668375  0.8437220862  1.4883835679

Ce qui correspond au modèle suivant : \[r_t=0,000172-0,07689 r_{t-1}-0,6645 r_{t-2}+0,5110 r_{t-3}+0,0091 \epsilon_{t-1}+0,6284 \epsilon_{t-2}-0,5688 \epsilon_{t-3}+\epsilon_t\] \[\epsilon_{t}=\sigma_t z_t\] \[\log\sigma_t^2=-0,1931-0,2667 \epsilon_{t-1}-0,1612(|\epsilon_{t-1}|-E(|\epsilon_{t-1}|))\] \[+0,1323 \epsilon_{t-2}+0,2905(|\epsilon_{t-2}|-E(|\epsilon_{t-2}|))+0,9793\log\sigma_{t-1}^2\] \[\textrm{avec } z_t \textrm{ qui suit une loi générale des excès décalée avec } \xi=0,844 \textrm{ et } \nu=1,489.\]

4.4.2. Analyse des paramètres du modèle

p.table(egarch21@fit$matcoef, "Paramètres du modèle")

rm(egarch21)

aic.egarch<-data.frame(matrix(ncol = 1, nrow = 16))
j=1
for (p in 0:1){
  for (q in 0:1){
    for (r in 0:1){
      for (s in 0:1){
        lg<-paste("ARMA(", 3+p , ",", 3+q ,")-eGARCH(", 2+r, ",", 1+s, ") avec erreurs skewed-ged", sep="")
        rownames(aic.egarch)[j]<-lg
        spec<-ugarchspec(variance.model = list(model='eGARCH', garchOrder=c(2+r,1+s)),mean.model=list(armaOrder=c(3+p, 3+q), include.mean=T), distribution.model="sged")
        model = tryCatch(infocriteria(ugarchfit(spec, returns_md))[1], error=function( err ) FALSE, warning=function( err ) FALSE)
        if(!is.logical(model)){
          aic.egarch[j,1]<-model
        }
        else{
          aic.egarch[j,1]<-"Pas de convergence"
        }
        j=j+1
      }  
    }
  }
}
colnames(aic.egarch)<-"Valeur de l'AIC"
p.table(aic.egarch, "AIC des modèles overfittés")

rm(spec, lg, model, aic.egarch)

models <- data.frame( c(3, 3, 3, 1),
                      c(3, 3, 3, 2),
                      c(3, 4, 2, 2),
                      c(3, 4, 3, 1),
                      c(3, 4, 3, 2),
                      c(4, 3, 3, 1),
                      c(4, 3, 3, 2),
                      c(4, 4, 2, 2),
                      c(4, 4, 3, 1),
                      c(4, 4, 3, 2))

models.names<-list("ARMA(3,3)-eGARCH(3,1) sged", "ARMA(3,3)-eGARCH(3,2) sged", "ARMA(3,4)-eGARCH(2,2) sged" , "ARMA(3,4)-eGARCH(3,1) sged", "ARMA(3,4)-eGARCH(3,2) sged", "ARMA(4,3)-eGARCH(3,1) sged",
                   "ARMA(4,3)-eGARCH(3,2) sged", "ARMA(4,4)-eGARCH(2,2) sged", "ARMA(4,4)-eGARCH(3,1) sged", "ARMA(4,4)-eGARCH(3,2) sged")
sgn.tbl<-data.frame(matrix(nrow=10, ncol=1))
for (l in 1:10){
  nosign<-""
  spec=ugarchspec(variance.model=list(model="eGARCH" , garchOrder=c(models[3,l],models[4,l])),
          mean.model=list(armaOrder=c(models[1,l], models[2,l]), include.mean=T),
          distribution.model="sged")
  model<-ugarchfit(spec, returns_md)
  tvalues<-model@fit$matcoef[,3]
  for (i in 2:length(tvalues)){
    if (abs(tvalues[i])<2){
      nosign<-paste(nosign, names(tvalues)[i], "=", round(tvalues[i],2), sep=" ")
    }
  }
  sgn.tbl[l,1]<-nosign
  rownames(sgn.tbl)[l]<-models.names[l]
}
colnames(sgn.tbl)<-"Paramètres non significatifs"
p.table(sgn.tbl, "Recherche des paramètres non significatifs des modèles overfittés")

rm(models, models.names, spec, nosign, model, tvalues, sgn.tbl)

5.1.1. Choix de la taille des blocs et des paramètres de la GEV : \(\xi\), \(\mu\) et \(\sigma\)

L’idée de cette section est de découper les pertes (l’opposé des rendements) en blocs, et de prendre en compte les maxima sur chacun de ces blocs. La théorie nous permet ensuite d’utiliser la convergence de la loi des maxima vers une loi GEV dont les paramètres sont à déterminer. L’enjeu est dans un premier temps de choisir la taille des blocs sur lesquels prendre les maxima. Pour ceci nous essaierons plusieurs tailles de blocs et nous intéresserons à la convergence vers une loi GEV grâce à des tests statistiques. Nous recherchons des maxima qui sont à la fois stationnaires et dont la distribution correspond bien à une GEV. Les tests utilisés seront le test KPSS de stationnarité et le test KS (Kolmogorov-Smirnov) de Goodness-of-Fit.

# Calculons les pertes
loss_md<- -returns_md
# Création du tableau contenant les tests pour chaque taille de bloc
sizes<-c(seq(20,50, by=2))
res<-data.frame(matrix(nrow=length(sizes),ncol=5))
colnames(res)<-c("p-value KPSS", "p-value KS", "Param. de localisation", "Param. de forme", "Param. d'échelle")

# Boucle pour réaliser les tests sur chaque taille de bloc
j=1
for (i in sizes){
  # Maximum sur les blocs de i-journée
  returns_per_block<-blockMaxima(loss_md, block=i)
  
  # KPSS test : H0 -> stationnaire donc p-value>0.05 recherchée
  kpss<-round(as.double(kpss.test(returns_per_block, null="Trend")["p.value"]),3)
  
  # Fit d'une GEV pour la taille de bloc i-journée
  fit<-fgev(returns_per_block)
  
  # Paramètres obtenus pour la distribution GEV
  mu<-round(as.double(fit$param['loc']),3)
  xi<-round(as.double(fit$param['shape']),3)
  beta<-round(as.double(fit$param['scale']),3)

  # Test Goodness of Fit
  simgev<-gevSim(model=list(mu=fit$param['loc'], xi=fit$param['shape'], beta=fit$param['scale']), 10000)
  ks<-round(as.double(ks.test(returns_per_block, simgev)["p.value"]),3)
  
  # Ajout des tests au tableau des résultats
  res[j,]<-c(kpss,ks,mu,xi,beta)
  rownames(res)[j]<-paste("Taille de bloc :", i)
  j=j+1
}
p.table(res, "Tests statistiques sur les différentes tailles de bloc", scale=TRUE)

rm(sizes, res, returns_per_block, kpss, fit, mu, xi, beta, simgev, ks)

D’après le tableau précédent, nous allons retenir une taille de bloc de 42, ce qui donne bien :

• une p-value>0.05 au test KPSS de stationnarité

• une p-value>0.05 au test de Kolmogorov-Smirnov de Goodness-of-Fit vis a vis de la GEV

On obtient donc un modèle qui consiste à dire que la pire perte sur 42 jours suit une loi GEV de paramètres :

• localisation = \(\mu\) = 0,0181513

• forme = \(\xi\) = 0,2539079

• échelle = \(\sigma\) = 0,0079701

5.1.2. Diagnostique graphique de la loi des extrêmes estimée (GEV)

Analysons graphiquement la distribution estimée face à la distribution empirique des maxima pour une taille de bloc de 42 jours.

# Obtention des maxima
k=42
endpts <- endpoints(loss_md, "days") # indices de fin pour chaque jour
endpts <- endpts[seq(1, length(endpts), by = k)] # indices de fin pour 42 jours
maxima<- period.apply(loss_md, INDEX = endpts, FUN = max) # Maximum sur ces périodes
maxima<-data.frame(maxima)

# Estimation des paramètres
fitgev<-fgev(maxima$maxima)

# Affichage des différents graphiques obtenus permettant d'interpréter les données
plot(fitgev, which=1, xlab="Empirique", ylab="Modèle GEV estimé", main="Graphique de comparaison des probabilités (PP-plot)", ci=0.05)
legend("topleft", c("Empirique"), pch = c(4))
legend("bottomright", c("Théorique GEV", "Intervalle de confiance"), lty = 1:2)

plot(fitgev, which=2, xlab="Empirique", ylab="Modèle GEV estimé", main="Graphique de comparaison des quantiles (QQ-plot)", ci=0.05)
legend("topleft", c("Empirique"), pch = c(4))
legend("bottomright", c("Théorique GEV", "Intervalle de confiance"), lty = 1:2)

plot(fitgev, which=3, xlab="Quantile", ylab="Densité", main="Densité théorique GEV vs empirique des maxima", ci=0.05)
legend("topright", c("GEV estimée","Empirique"), lty=1:2)

plot(fitgev, which=4, xlab="Période de rendement", ylab="Niveau de rendement", main="Graphique du niveau de rendement", ci=0.05)
legend("topleft", c("Empirique"), pch = c(4))
legend("topright", c("Théorique GEV", "Intervalle de confiance"), lty = 1:2)

rm(endpts, maxima)

Les graphiques ci-dessus permettent de constater que la distribtuion GEV estimée est assez proche de la distribution empirique, ce qui nous donne donc une bonne approximation de la distribution des extrema du S&P500 sur 42 jours. On remarque que le paramètre \(\xi\) est estimé à 0,2539079, ce qui donne bien une distribution de Frechet comme nous l’attendions.

5.2.1. Choix du seuil \(u\)

Recherchons le seuil \(u\) adéquat. Dans un premier temps traçons la fonction des excès en moyenne :

mrlplot(loss_md, c(0, 0.06), main="Graphique de la moyenne en excès", xlab="Seuil", ylab="Moyenne en excès")
legend("topleft", c("Moyenne en excès", "Intervalle de confiance"), lty=c(1,3))

Pour nous aider, nous disposons également de la courbe de choix du seuil (“treshold choice plot”) qui donne une estimation des paramètres de la loi de Pareto en fonction du seuil choisi (\(\xi\) le paramètre de forme et \(\sigma\) celui d’échelle) :

u=0.032
tcplot(loss_md, c(0, 0.06), which = 1, xlab="Seuil", ylab="Paramètre d'échelle")
title(main="Paramètre d'échelle en fonction du seuil")
abline(v=u, col=2)

tcplot(loss_md, c(0, 0.06), which = 2, xlab="Seuil", ylab="Paramètre de forme")
title(main="Paramètre de forme en fonction du seuil")
abline(v=u, col=2)

D’après les graphiques précédents nous choisissons un seuil \(u\) d’une valeur de 0,032 soit 3,2%. Nous pouvons maintenant estimer les paramètres de la loi de Pareto qui correspond à la distribution des pertes au-delà de ce seuil.

5.2.2. Estimation des paramètres de la distribution de Pareto (DPG) : \(\xi\) et \(\sigma\)

fitpot<-fpot(loss_md, threshold=u)
fitpot

## 
## Call: fpot(x = loss_md, threshold = u) 
## Deviance: -342.2858 
## 
## Threshold: 0.032 
## Number Above: 53 
## Proportion Above: 0.0141 
## 
## Estimates
##     scale      shape  
## 1.457e-02  2.216e-13  
## 
## Standard Errors
##    scale     shape  
## 0.003149  0.147559  
## 
## Optimization Information
##   Convergence: successful 
##   Function Evaluations: 21 
##   Gradient Evaluations: 1

L’estimation des paramètres fournit les valeurs suivantes :

• Paramètre de forme \(\xi = 2,216\times 10^{-13} \approx 0\)

• Paramètre d’échelle \(\sigma = 0,01457\)

Il y a au total 53 observations au-dessus de ce seuil parmi les pertes historiques du S&P 500 de 2000 à 2015.

Voyons ce que ce choix de paramètre donne graphiquement :

plot(fitpot, which=1, xlab="Modèle estimé DPG", ylab="Empirique", main="PP-plot pertes empiriques au-delà de 0,032 vs DPG")
legend("topleft", c("Empirique"), pch = c(4))
legend("bottomright", c("Théorique DPG", "Intervalle de confiance"), lty = 1:2)

plot(fitpot, which=2, xlab="Modèle estimé DPG", ylab="Empirique", main="QQ-plot pertes empiriques au-delà de 0,032 vs DPG")
legend("topleft", c("Empirique"), pch = c(4))
legend("bottomright", c("Théorique DPG", "Intervalle de confiance"), lty = 1:2)

plot(fitpot, which=3, xlab="Pertes", ylab="Densité", main="Densité empirique vs théorique DPG")
legend("topright", c("DPG estimée","Empirique"), lty=1:2)

plot(fitpot, which=4, xlab="Période de rendement", ylab="Niveau de perte", main="Pertes empiriques au-delà de 0,032 vs DPG")
legend("topleft", c("Empirique"), pch = c(4))
legend("bottomright", c("Théorique DPG", "Intervalle de confiance"), lty = 1:2)

Le modèle obtenu semble plutôt bon car la densité de Pareto épouse mieux les données empiriques que la GEV estimée par la méthode des maxima par blocs.

7.1.1. VaR Delta-Normale (VaR-DN)

La Value-at-Risk Delta-Normale est fondée sur l’hypothèse que les rendements sont indépendants et qu’ils suivent une loi normale. Calculons la VaR Delta-Normale des dérivés en utilisant une volatilité RiskMetrics et une volatilité GARCH(1,1). Ci-dessous l’obtention des volatilités RiskMetrics et GARCH(1,1).

# Vecteur pour accueillir les vols
vol<-xts(order.by = index(fut_returns))
vol<- merge.xts(vol, dummy=0, dummy=0)
colnames(vol)<-c("rm", "garch")

# Volatilité RiskMetrics
vol$rm[1]<-0.012641
vol$rm[2]<-sqrt(0.06*vol$rm[1]^2+0.94*(-0.008427078)^2)
for (i in 3:length(index(vol))){
  vol$rm[i]<-sqrt(0.06*vol$rm[i-1]^2+0.94*returns_bt[i-2]^2)
}

# Volatilité GARCH(1,1)
vol$garch[1]<-0.012641
garch11<-garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = returns_md, trace=F)
# Extraction des paramètres
omega<-garch11@fit$coef[2]
mu<-garch11@fit$coef[1]
alpha<-garch11@fit$coef[3]
beta<-garch11@fit$coef[4]

# Calcul de la vol GARCH
vol$garch[2]<-sqrt(omega+alpha*(-0.008427078-mu)^2+beta*vol$garch[1]^2)
for(i in 3:length(index(vol))){
  vol$garch[i]<-sqrt(omega+alpha*(returns_bt[i-2]-mu)^2+beta*vol$garch[i-1]^2)
}
head(vol)

##                     rm      garch
## 2015-08-31 0.012641000 0.01264100
## 2015-09-01 0.008737414 0.01231662
## 2015-09-02 0.029186615 0.01507010
## 2015-09-03 0.018973856 0.01530323
## 2015-09-04 0.004782707 0.01450034
## 2015-09-08 0.015023438 0.01461265

Calculons à présent les VaR Delta-Normales à 95% et 99% du future et de l’option avec les deux volatilités GARCH et RiskMetrics :

delta<-var_d(vol, opt_returns, 0.000069)
head(delta[[1]])

##            var.fut.rm.95 var.fut.rm.99 var.fut.garch.95 var.fut.garch.99
## 2015-08-31   0.000000000    0.00000000       0.00000000       0.00000000
## 2015-09-01  -0.014302767   -0.02025726      -0.02019004      -0.02858375
## 2015-09-02  -0.047938709   -0.06782922      -0.02471910      -0.03498928
## 2015-09-03  -0.031140216   -0.04407079      -0.02510257      -0.03553163
## 2015-09-04  -0.007797853   -0.01105724      -0.02378194      -0.03366384
## 2015-09-08  -0.024642356   -0.03488074      -0.02396667      -0.03392511
##            var.opt.rm.95 var.opt.rm.99 var.opt.garch.95 var.opt.garch.99
## 2015-08-31   0.000000000   0.000000000       0.00000000       0.00000000
## 2015-09-01  -0.007464425  -0.010571998      -0.01053691      -0.01491748
## 2015-09-02  -0.024911606  -0.035247816      -0.01284541      -0.01818237
## 2015-09-03  -0.016176407  -0.022893452      -0.01304003      -0.01845761
## 2015-09-04  -0.004057540  -0.005753531      -0.01237471      -0.01751666
## 2015-09-08  -0.012794362  -0.018110153      -0.01244355      -0.01761399

7.1.2. VaR de Cornish-Fisher (VaR-CF)

Calculons la VaR de Cornish-Fisher :

# Obtention des cumulants
cum<-all.cumulants(all.moments(returns_md, order.max = 5))
# Calcul de la VaR CF
cf<-var_cornish_fisher(cum, mean(returns_md), stdev(returns_md), vol, opt_returns)
head(cf[[1]])

##            var.fut.rm.95 var.fut.rm.99 var.fut.garch.95 var.fut.garch.99
## 2015-08-31    0.00000000    0.00000000       0.00000000       0.00000000
## 2015-09-01   -0.01430190   -0.02025577      -0.02018901      -0.02858183
## 2015-09-02   -0.04793692   -0.06782532      -0.02471795      -0.03498705
## 2015-09-03   -0.03113889   -0.04406809      -0.02510141      -0.03552936
## 2015-09-04   -0.00779717   -0.01105621      -0.02378082      -0.03366167
## 2015-09-08   -0.02464121   -0.03487851      -0.02396554      -0.03392293
##            var.opt.rm.95 var.opt.rm.99 var.opt.garch.95 var.opt.garch.99
## 2015-08-31   0.000000000   0.000000000       0.00000000       0.00000000
## 2015-09-01  -0.007463975  -0.010571219      -0.01053638      -0.01491648
## 2015-09-02  -0.024910676  -0.035245791      -0.01284482      -0.01818121
## 2015-09-03  -0.016175718  -0.022892051      -0.01303943      -0.01845644
## 2015-09-04  -0.004057184  -0.005752996      -0.01237412      -0.01751553
## 2015-09-08  -0.012793766  -0.018108994      -0.01244296      -0.01761285

7.1.3. VaR avec la théorie des valeurs extrêmes

Dans le cadre de la théorie des valeurs extrêmes, nous avons proposé deux méthodologies de calcul de VaR. La première fondée sur la loi des maxima de pertes par blocs d’observations et la seconde sur la loi des pertes au-delà d’un seuil.

n<-42
alpha_gev<-1-n*0.01

param<-as.double(c(fitgev$param["loc"], fitgev$param["scale"], fitgev$param["shape"]))
bbm<-var_bmm(param, vol, opt_returns, mean(loss_md), stdev(loss_md), alpha_gev)
head(bbm[[1]])

##             var.fut.99  var.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000
## 2015-09-01 -0.02338626 -0.01220498
## 2015-09-02 -0.02338626 -0.01215280
## 2015-09-03 -0.02338626 -0.01214846
## 2015-09-04 -0.02338626 -0.01216882
## 2015-09-08 -0.02338626 -0.01214220

f<-as.double(3771/53)
param<-as.double(c(fitpot$param[1], fitpot$param[2]))
pot<- var_u(param, vol, opt_returns, mean(loss_md), stdev(loss_md), f, u)
head(pot[[1]])

##            var.fut.rm.99 var.fut.garch.99 var.opt.rm.99 var.opt.garch.99
## 2015-08-31    0.00000000       0.00000000   0.000000000       0.00000000
## 2015-09-01   -0.02209753      -0.03117805  -0.011532407      -0.01627141
## 2015-09-02   -0.07397755      -0.03816366  -0.038442832      -0.01983195
## 2015-09-03   -0.04806758      -0.03875512  -0.024969666      -0.02013212
## 2015-09-04   -0.01206436      -0.03671819  -0.006277575      -0.01910597
## 2015-09-08   -0.03804529      -0.03700312  -0.019753195      -0.01921210

rm(fitgev, fitpot, garch11, loss_md)

7.2.1. VaR par simulation historique des facteurs de risque et “full-repricing” (VaR-H)

Dans cette section nous allons calculer la VaR par simulation historique sur une fenêtre roulante de 1 an. Nous allons procéder par simulation classique sans modification de l’historique (Bootstrapping ou autres). La méthode consiste à utiliser les variations historiques des facteurs de risque et à repricer les dérivés avec ces nouveaux paramètres. Dans un premier temps calculons une VaR historique univariée (on ne fait varier que le S&P500 et on ne modifie par les autres paramètres).

vix_returns<-read.zoo("data/VIX_returns.csv", header=T, sep=";", index.column = 1, format = "%d/%m/%Y")
vix_returns<-as.xts(vix_returns)
colnames(vix_returns)<-"vix.r"
histo<-var_h(returns_md, returns_bt, opt_data, fut_prices, opt_prices, vol, vix_returns)
head(histo[[1]])

##             var.fut.95  var.fut.99  var.opt.95 var.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.00000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.01492499 -0.02120407 -0.49643558 -0.6035490
## 2015-09-02 -0.01571830 -0.02558734 -0.30352902 -0.4968900
## 2015-09-03 -0.01571830 -0.02558734 -0.02018628 -0.1992150
## 2015-09-04 -0.01571830 -0.02558734 -0.70631723 -0.9102195
## 2015-09-08 -0.01583198 -0.02558734 -0.04718755 -0.2309335

Voyons ce qu’il advient de la VaR si l’on fait également varier la volatilité (VIX) :

histo_mv<-var_h(returns_md, returns_bt, opt_data, fut_prices, opt_prices, vol, vix_returns, bi=TRUE)
head(histo_mv[[1]])

##             var.fut.95  var.fut.99  var.opt.95    var.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.00000000  0.0000000000
## 2015-09-01 -0.01492499 -0.02120407 -0.33427353 -0.4160765938
## 2015-09-02 -0.01571830 -0.02558734 -0.13061898 -0.2402013425
## 2015-09-03 -0.01571830 -0.02558734  0.12002719  0.0266744079
## 2015-09-04 -0.01571830 -0.02558734 -0.50522304 -0.6251409841
## 2015-09-08 -0.01583198 -0.02558734  0.09696997  0.0005414278

7.2.2. VaR par simulation Monte-Carlo des facteurs de risque et “full-repricing”

mc_n<-var_mc(prices_bt, vol, fut_prices, opt_prices, opt_data, 100000)
head(mc_n[[1]])

##             var.fut.95  var.fut.99 var.opt.95 var.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.0000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.02021641 -0.02835235 -0.5864942 -0.7292960
## 2015-09-02 -0.02483492 -0.03507317 -0.4807842 -0.6909894
## 2015-09-03 -0.02512172 -0.03552858 -0.1895403 -0.3883070
## 2015-09-04 -0.02358653 -0.03366822 -0.8672598 -1.0830210
## 2015-09-08 -0.02406567 -0.03396933 -0.2006141 -0.3956459

# Spécifications du modèle
fixed.p <- list(mu = 0.0001718297,
                ar1 = -0.0768908552,
                ar2 =  -0.6644951238,
                ar3 =  0.5110208741,
                ma1 = 0.0091052680,
                ma2 = 0.6283683601,
                ma3 = -0.5687746472,
                omega = -0.1931395105,
                alpha1= -0.2667631153,
                alpha2 = 0.132319643,
                beta1 = 0.9792846055,
                gamma1= -0.1612302291,
                gamma2= 0.2904668375,
                skew = 0.8437220862,
                shape= 1.4883835679)
armaOrder <- c(3,3)
garchOrder <- c(2,1) # GARCH order
varModel <- list(model = "eGARCH", garchOrder = garchOrder)
spec <- ugarchspec(varModel, mean.model = list(armaOrder = armaOrder),
                   fixed.pars = fixed.p, distribution.model = "sged")
# Calcul de la VaR
model<-var_model(prices_bt, vol, fut_prices, returns_bt, opt_prices, opt_data, opt_returns, spec, 10000)
head(model[[1]])

##             var.fut.95  var.fut.99  var.opt.95 var.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.00000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.01351801 -0.02416893 -0.47285331 -0.6552086
## 2015-09-02 -0.02122147 -0.03531484 -0.40942285 -0.6960965
## 2015-09-03 -0.05259818 -0.06632965 -0.74130773 -1.0507621
## 2015-09-04 -0.01459225 -0.02807041 -0.68379156 -0.9618848
## 2015-09-08 -0.01503474 -0.02805461 -0.03272965 -0.2777696

vix_returns<-vix_returns["/20150831"]
hist(vix_returns, xlab="Rendement du VIX", ylab="Densité", freq=FALSE, main="Histogramme des rendements du VIX (2000-2015)", ylim=c(0,10), breaks=20)
lines(density(vix_returns), col="blue")
legend("right", legend=c("Densité normale", "Densité empirique"),
       col=c("red", "blue"), lty=1, cex=0.8)
curve(dnorm(x, mean=mean(vix_returns), sd=sd(vix_returns)), add=TRUE, col="red")

cov.matrix<-matrix(c(var(returns_md), cov(returns_md, vix_returns), cov(returns_md, vix_returns), var(vix_returns)), 2)
m<-c(mean(returns_md), mean(vix_returns))
mc_n_bv<-var_mc_mv(prices_bt, vol, fut_prices, opt_prices, opt_data, m, cov.matrix, 100000)
head(mc_n_bv[[1]])

##             var.fut.95  var.fut.99  var.opt.95 var.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.00000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.02066643 -0.02925489 -0.48957506 -0.5891183
## 2015-09-02 -0.02064332 -0.02928618 -0.30172899 -0.4200579
## 2015-09-03 -0.02070184 -0.02934561 -0.02913932 -0.1439349
## 2015-09-04 -0.02062906 -0.02920680 -0.68472652 -0.8038019
## 2015-09-08 -0.02074453 -0.02926246 -0.05648713 -0.1743710

hist(vix_returns, xlab="Rendement du VIX", ylab="Densité", freq=FALSE, main="Histogramme des rendements du VIX (2000-2015)", ylim=c(0,10), breaks=20)
lines(density(vix_returns), col="blue")
legend("right", legend=c("Densité Student-4", "Densité empirique"),
       col=c("red", "blue"), lty=1, cex=0.8)
curve(dstd(x, mean=mean(vix_returns), sd=sd(vix_returns), nu=4), add=TRUE, col="red")

hist(returns_md, xlab="Rendement du S&P500", ylab="Densité", freq=FALSE, main="Histogramme des rendements du S&P500 (2000-2015)", ylim=c(0,55), breaks=20)
lines(density(returns_md), col="blue")
legend("right", legend=c("Densité Student-4", "Densité empirique"),
       col=c("red", "blue"), lty=1, cex=0.8)
curve(dstd(x, mean=mean(returns_md), sd=sd(returns_md), nu=4), add=TRUE, col="red")

mc_std_bv<-var_mc_mv(prices_bt, vol, fut_prices, opt_prices, opt_data, m, cov.matrix, 100000, type="std")
head(mc_std_bv[[1]])

##             var.fut.95  var.fut.99 var.opt.95 var.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.0000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.02691459 -0.04776679 -0.5554255 -0.7802360
## 2015-09-02 -0.02675782 -0.04702541 -0.3796737 -0.6483538
## 2015-09-03 -0.02712778 -0.04755550 -0.1097622 -0.3698338
## 2015-09-04 -0.02691697 -0.04771269 -0.7625532 -1.0292627
## 2015-09-08 -0.02669791 -0.04693670 -0.1365017 -0.4199643

8.1.1. TCE delta-normale (TCE-DN)

head(delta[[2]])

##            tce.fut.rm.95 tce.fut.rm.99 tce.fut.garch.95 tce.fut.garch.99
## 2015-08-31   0.000000000    0.00000000       0.00000000       0.00000000
## 2015-09-01  -0.017953775   -0.02321808      -0.02533665      -0.03275743
## 2015-09-02  -0.060134604   -0.07771958      -0.03101628      -0.04009603
## 2015-09-03  -0.039068616   -0.05050039      -0.03149716      -0.04071738
## 2015-09-04  -0.009796352   -0.01267794      -0.02984104      -0.03857752
## 2015-09-08  -0.030920038   -0.03997168      -0.03007270      -0.03887684
##            tce.opt.rm.95 tce.opt.rm.99 tce.opt.garch.95 tce.opt.garch.99
## 2015-08-31   0.000000000   0.000000000       0.00000000       0.00000000
## 2015-09-01  -0.009369838  -0.012117209      -0.01322286      -0.01709567
## 2015-09-02  -0.031249268  -0.040387395      -0.01611777      -0.02083612
## 2015-09-03  -0.020294973  -0.026233437      -0.01636183      -0.02115146
## 2015-09-04  -0.005097440  -0.006596847      -0.01552751      -0.02007345
## 2015-09-08  -0.016053747  -0.020753378      -0.01561381      -0.02018494

8.1.2. TCE de Cornish-Fisher (TCE-CF)

head(cf[[2]])

##            tce.fut.rm.95 tce.fut.rm.99 tce.fut.garch.95 tce.fut.garch.99
## 2015-08-31   0.000000000    0.00000000       0.00000000       0.00000000
## 2015-09-01  -0.017773396   -0.02312173      -0.02548288      -0.03307756
## 2015-09-02  -0.060618734   -0.07725859      -0.03111823      -0.03980853
## 2015-09-03  -0.039239778   -0.05042969      -0.03151818      -0.04077454
## 2015-09-04  -0.009761864   -0.01252632      -0.02981443      -0.03819585
## 2015-09-08  -0.030885942   -0.04018901      -0.02972432      -0.03913977
##            tce.opt.rm.95 tce.opt.rm.99 tce.opt.garch.95 tce.opt.garch.99
## 2015-08-31   0.000000000   0.000000000       0.00000000       0.00000000
## 2015-09-01  -0.009275701  -0.012066924      -0.01329918      -0.01726274
## 2015-09-02  -0.031500849  -0.040147840      -0.01617075      -0.02068672
## 2015-09-03  -0.020383886  -0.026196708      -0.01637275      -0.02118115
## 2015-09-04  -0.005079494  -0.006517951      -0.01551366      -0.01987485
## 2015-09-08  -0.016036044  -0.020866214      -0.01543293      -0.02032145

8.1.3. TCE avec la théorie des valeurs extrêmes

head(bbm[[2]])

##             tce.fut.99  tce.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000
## 2015-09-01 -0.03878949 -0.02024372
## 2015-09-02 -0.03878949 -0.02015716
## 2015-09-03 -0.03878949 -0.02014997
## 2015-09-04 -0.03878949 -0.02018374
## 2015-09-08 -0.03878949 -0.02013958

head(pot[[2]])

##            tce.fut.rm.99 tce.fut.garch.99 tce.opt.rm.99 tce.opt.garch.99
## 2015-08-31    0.00000000       0.00000000   0.000000000       0.00000000
## 2015-09-01   -0.02229602      -0.03145786  -0.011636000      -0.01641744
## 2015-09-02   -0.07464062      -0.03850603  -0.038787397      -0.02000986
## 2015-09-03   -0.04849863      -0.03910278  -0.025193584      -0.02031272
## 2015-09-04   -0.01217301      -0.03704761  -0.006334112      -0.01927738
## 2015-09-08   -0.03838660      -0.03733509  -0.019930400      -0.01938446

8.2.1. TCE par simulation historique des facteurs de risque et “full-repricing” (TCE-H)

Ci-dessous, la TCE par simulation historique univariée.

head(histo[[2]])

##             tce.fut.95  tce.fut.99 tce.opt.95 tce.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.0000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.02070759 -0.03130222 -0.5969759 -0.7848223
## 2015-09-02 -0.02184459 -0.03420111 -0.4246195 -0.6737173
## 2015-09-03 -0.02184459 -0.03420111 -0.1323587 -0.3633561
## 2015-09-04 -0.02184459 -0.03420111 -0.8338840 -1.0957556
## 2015-09-08 -0.02184459 -0.03420111 -0.1615753 -0.4015029

Ensuite, celle par simulation historique multivariée.

head(histo_mv[[2]])

##             tce.fut.95  tce.fut.99  tce.opt.95  tce.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.00000000  0.00000000
## 2015-09-01 -0.02070759 -0.03130222 -0.39588745 -0.51441934
## 2015-09-02 -0.02184459 -0.03420111 -0.21568886 -0.36738551
## 2015-09-03 -0.02184459 -0.03420111  0.04493656 -0.08055803
## 2015-09-04 -0.02184459 -0.03420111 -0.59565709 -0.77176111
## 2015-09-08 -0.02184459 -0.03420111  0.01689859 -0.10792735

8.2.2. TCE par simulation Monte-Carlo des facteurs de risque et “full-repricing”

head(mc_n[[2]])

##             tce.fut.95  tce.fut.99 tce.opt.95 tce.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.0000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.02527876 -0.03257711 -0.6755373 -0.8060922
## 2015-09-02 -0.03115663 -0.04030771 -0.6109769 -0.8043519
## 2015-09-03 -0.03152732 -0.04088150 -0.3123095 -0.4966182
## 2015-09-04 -0.02980381 -0.03872840 -1.0006487 -1.1964716
## 2015-09-08 -0.03007405 -0.03874635 -0.3192633 -0.4950882

head(model[[2]])

##             tce.fut.95  tce.fut.99 tce.opt.95 tce.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.0000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.02029164 -0.02963261 -0.5891644 -0.7534044
## 2015-09-02 -0.02989381 -0.04261925 -0.5868841 -0.8571397
## 2015-09-03 -0.06117008 -0.07439445 -0.9359432 -1.2470640
## 2015-09-04 -0.02269803 -0.03458082 -0.8515927 -1.1051246
## 2015-09-08 -0.02294098 -0.03489756 -0.1825838 -0.4178324

head(mc_n_bv[[2]])

##             tce.fut.95  tce.fut.99  tce.opt.95 tce.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.00000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.02594092 -0.03369448 -0.55159765 -0.6412785
## 2015-09-02 -0.02598386 -0.03346121 -0.37411991 -0.4764494
## 2015-09-03 -0.02591029 -0.03323886 -0.09975388 -0.1987867
## 2015-09-04 -0.02587930 -0.03355263 -0.75842821 -0.8656614
## 2015-09-08 -0.02591880 -0.03334924 -0.12940106 -0.2334256

head(mc_std_bv[[2]])

##             tce.fut.95  tce.fut.99 tce.opt.95 tce.opt.99
## 2015-08-31  0.00000000  0.00000000  0.0000000  0.0000000
## 2015-09-01 -0.04033260 -0.06559608 -0.7069227 -0.9891363
## 2015-09-02 -0.04032826 -0.06568912 -0.5595485 -0.8969000
## 2015-09-03 -0.04067775 -0.06654061 -0.2798931 -0.6015127
## 2015-09-04 -0.04033648 -0.06528232 -0.9443700 -1.2902049
## 2015-09-08 -0.04029994 -0.06508614 -0.3161236 -0.6394484

9.1.1. VaRs à 95%

Voyons les résultats des différents tests statistiques sur les mesures de VaR entre 2015 et 2020 :

var.95<-merge(delta[[1]][,1],delta[[1]][,3], cf[[1]][,1], cf[[1]][,3], model[[3]][,1])
var.95<-comparison(var.95, returns_bt)
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatiltié RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatiltié GARCH(1,1)", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged")
n<-length(index(var.95))
p.table.back(tests(var.95, names, 0.95, n), "Tests statistiques sur les VaRs du S\\&P500 à 95\\% (2015-2020)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 5)

La volatilité GARCH semble être le facteur déterminant à ce niveau de précision. Toutes les mesures avec volatilité RiskMetrics ne sont pas assez extrêmes et ont donc une fréquence de dépassement trop importante. Au niveau des tests de Kupiec et de Christoffersen, les résultats sont très mauvais. Étant donné que les modèles n’ont pas été recalibrés, ce qui est le cas dans la réalité puisque les banques revoient les paramètres de leurs modèles, voyons ce qu’il en est du backtesting sur 3 ans seulement.

var.95<-merge(delta[[1]][,1],delta[[1]][,3], cf[[1]][,1], cf[[1]][,3], model[[3]][,1])
var.95<-comparison(var.95, returns_bt)["/20180831"]
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatiltié RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatiltié GARCH(1,1)", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged")
n<-length(index(var.95))
p.table.back(tests(var.95, names, 0.95, n), "Tests statistiques sur les VaRs du S\\&P500 à 95\\% (2015-2018)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 5)

Les résultats sont bien meilleurs. La mesure de VaR ARMA-eGARCH est la seule qui réussit l’ensemble des tests. Les mesures Delta-normale et Cornish-Fisher avec volatilité GARCH sont trop conservatrices et échouent donc au test de Kupiec (et de Christoffersen).

9.1.2. VaRs à 99%

Comme ci-dessus, voyons les résultats pour les VaRs à 99% sur la période de 2015 à 2020 :

var.99<-merge(delta[[1]][,2],delta[[1]][,4], cf[[1]][,2], cf[[1]][,4], bbm[[1]][,1], pot[[1]][,1], pot[[1]][,2], model[[3]][,2])
var.99<-comparison(var.99, returns_bt)
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatilité RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatilité GARCH(1,1)", "Maxima par blocs", "Peaks-Over-Treshold volatilité RiskMetrics", "Peaks-Over-Treshold volatilité GARCH(1,1)", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged")
n<-length(index(var.99))
p.table.back(tests(var.99, names, 0.99, n), "Tests statistiques sur les VaRs du S\\&P500 à 99\\% (2015-2020)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 8)

Encore une fois les résultats sont mauvais, aucune mesure ne convient. Voyons ce qu’il en est sur 3 ans :

var.99<-merge(delta[[1]][,2],delta[[1]][,4], cf[[1]][,2], cf[[1]][,4], bbm[[1]][,1], pot[[1]][,1], pot[[1]][,2], model[[3]][,2])
var.99<-comparison(var.99, returns_bt)["/20180831"]
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatilité RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatilité GARCH(1,1)", "Maxima par blocs", "Peaks-Over-Treshold volatilité RiskMetrics", "Peaks-Over-Treshold volatilité GARCH(1,1)", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged")
n<-length(index(var.99))
p.table.back(tests(var.99, names, 0.99, n), "Tests statistiques sur les VaRs du S\\&P500 à 99\\% (2015-2018)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 8)

Sur trois ans, on observe que les mesures issues de la théorie des valeurs extrêmes performent le mieux, ce qui est rassurant car c’est justement leur rôle : prévoir les évènements extrêmes ce qui correspond au niveau de confiance à 99%. Cependant la mesure par maxima par blocs ne représente absolument pas le risque quoitidien car elle est constante et ne permettrait donc pas en réalité à une banque d’ajuster son niveau de capital servant à couvrir ses risques. Les mesures les plus performantes sont finalement, selon ces critères, la VaR ARMA-eGARCH et la VaR-POT à volatilité GARCH. Toutefois la VaR POT ne réussit pas le test de Christoffersen, on considèrera que la meilleure mesure est la VaR ARMA-eGARCH.

9.2.1. VaRs à 95%

var.95<-merge(delta[[1]][,1],delta[[1]][,3], cf[[1]][,1], cf[[1]][,3], model[[3]][,1], model[[1]][,1], histo[[1]][,1], histo_mv[[1]][,1], mc_n[[1]][,1], mc_n_bv[[1]][,1], mc_std_bv[[1]][,1])
var.95<-comparison(var.95, fut_returns)
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatiltié RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatiltié GARCH(1,1)","ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged repricing", "Historique univariée", "Historique bivariée", "Monte-Carlo normale univariée", "Monte-Carlo normale bivariée", "Monte-Carlo Student-4 bivariée")
n<-length(index(var.95))
p.table.back(tests(var.95, names, 0.95, n), "Tests statistiques sur les VaRs du future sur le S\\&P500 à 95\\% (2015-2020)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 5, 11)

Toutes les méthodes de simulation donnent des VaRs performantes du point de vue du Traffic Light Test, mais aucune des mesures ne réussit le test de Kupiec et celui de Christoffersen. Voyons ce qu’il en est sur 3 ans :

var.95<-merge(delta[[1]][,1],delta[[1]][,3], cf[[1]][,1], cf[[1]][,3], model[[3]][,1], model[[1]][,1], histo[[1]][,1], histo_mv[[1]][,1], mc_n[[1]][,1], mc_n_bv[[1]][,1], mc_std_bv[[1]][,1])
var.95<-comparison(var.95, fut_returns)["/20180831"]
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatiltié RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatiltié GARCH(1,1)","ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged repricing", "Historique univariée", "Historique bivariée", "Monte-Carlo normale univariée", "Monte-Carlo normale bivariée", "Monte-Carlo Student-4 bivariée")
n<-length(index(var.95))
p.table.back(tests(var.95, names, 0.95, n), "Tests statistiques sur les VaRs du future sur le S\\&P500 à 95\\% (2015-2018)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 5, 11)

Sur cette période, hormis les mesures à volatilité RiskMetrics, toutes obtiennent un bon résultat au Traffic Light Test. En revanche, seule la VaR ARMA-eGARCH passe les tests de Kupiec et Christoffersen. C’est donc à nouveau la mesure de risque la plus performante. On remarque qu’avec repricing ou non les performances de ce modèle sont les mêmes. Ainsi les mesures paramétriques ou semi-paramétriques sans repricing peuvent être un bon choix pour les futures. Les VaRs par Monte-Carlo étant trop conservatrices elles échouent au test de Kupiec, tandis que les VaRs historiques, ne suivant pas les tendances réelles du marché au jour le jour, échouent au test de Christoffersen car les dépassements ne sont pas indépendants. Finalement, les VaRs paramétriques à volatilité GARCH sont trop conservatrices et elles échouent donc logiquement au test de Kupiec. On conclut donc que le meilleur modèle à 95% pour le future est le modèle ARMA-eGARCH sans repricing (car plus simple et aussi performant que son homologue avec repricing).

9.2.1. VaRs à 99%

var.99<-merge(delta[[1]][,2],delta[[1]][,4], cf[[1]][,2], cf[[1]][,4], bbm[[1]][,1], pot[[1]][,1], pot[[1]][,2], model[[3]][,2], model[[1]][,2], histo[[1]][,2], histo_mv[[1]][,2], mc_n[[1]][,2], mc_n_bv[[1]][,2], mc_std_bv[[1]][,2])
var.99<-comparison(var.99, fut_returns)
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatilité RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatilité GARCH(1,1)", "Maxima par blocs", "Peaks-Over-Treshold volatilité RiskMetrics", "Peaks-Over-Treshold volatilité GARCH(1,1)", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged repricing", "Historique univariée", "Historique bivariée", "Monte-Carlo normale univariée", "Monte-Carlo normale bivariée", "Monte-Carlo Student-4 bivariée")
n<-length(index(var.99))
p.table.back(tests(var.99, names, 0.99, n), "Tests statistiques sur les VaRs du future sur le S\\&P500 à 99\\% (2015-2020)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 8, 14)

Les résultats sont encore une fois plutôt mauvais à l’exception des VaRs par simulation de Monte-Carlo bivariée. Voyons ce qu’il en est sur 3 ans :

var.99<-merge(delta[[1]][,2],delta[[1]][,4], cf[[1]][,2], cf[[1]][,4], bbm[[1]][,1], pot[[1]][,1], pot[[1]][,2], model[[3]][,2], model[[1]][,2], histo[[1]][,2], histo_mv[[1]][,2], mc_n[[1]][,2], mc_n_bv[[1]][,2], mc_std_bv[[1]][,2])
var.99<-comparison(var.99, fut_returns)["/20180831"]
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatilité RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatilité GARCH(1,1)", "Maxima par blocs", "Peaks-Over-Treshold volatilité RiskMetrics", "Peaks-Over-Treshold volatilité GARCH(1,1)", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged repricing", "Historique univariée", "Historique bivariée", "Monte-Carlo normale univariée", "Monte-Carlo normale bivariée", "Monte-Carlo Student-4 bivariée")
n<-length(index(var.99))
p.table.back(tests(var.99, names, 0.99, n), "Tests statistiques sur les VaRs du future sur le S\\&P500 à 99\\% (2015-2018)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 8, 14)

Parmi les méthodes paramétriques et semi-paramétriques, la VaR par maxima par blocs et la VaR ARMA-eGARCH passent l’ensemble des tests. Cependant, la première est constante sur la période et ne reflète donc pas les besoins de couverture d’une banque. Elle ne sera donc pas retenue. Cinq VaRs sont satisfaisantes selon nos critères :

• VaR ARMA-eGARCH sans repricing
• VaR ARMA-eGARCH avec repricing
• VaR Historique univariée
• VaR Historique bivariée
• VaR Monte-Carlo normale bivariée

Seules les VaRs univariées font sens dans le cadre du future car intégrer la corrélation entre les variations du S&P500 et du VIX n’est pas nécessaire pour ce produit. On préfèrera donc les méthodes univariées. Ceci fournit finalement trois VaRs satisfaisantes, la VaR ARMA-eGARCH avec et sans repricing et la VaR Historique univariée. Nous retiendrons donc que les deux meilleures mesures sont la VaR ARMA-eGARCH sans repricing (plus simple que celle avec) et la VaR Historique univariée.

9.2.1. VaRs à 95%

var.95<-merge(delta[[1]][,5],delta[[1]][,7], cf[[1]][,5], cf[[1]][,7], model[[3]][,3] ,model[[1]][,3], histo[[1]][,3], histo_mv[[1]][,3], mc_n[[1]][,3], mc_n_bv[[1]][,3], mc_std_bv[[1]][,3])
var.95<-comparison(var.95, opt_returns$rdt)
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatiltié RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatiltié GARCH(1,1)","ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged repricing", "Historique univariée", "Historique bivariée", "Monte-Carlo normale univariée", "Monte-Carlo normale bivariée", "Monte-Carlo Student-4 bivariée")
n<-length(index(var.95))
p.table.back(tests(var.95, names, 0.95, n), "Tests statistiques sur les VaRs de l'option sur le S\\&P500 à 95\\% (2015-2020)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 5, 11)

Il apparaît de manière évidente que les mesures paramétriques et semi-paramétriques sans repricing sont totalement inadaptées à l’option. Si les autres mesures réussissent le Traffic Light Test car très conservatrices, aucune ne passe les deux autres avec succès. Fait intéréssant, les mesures bivariées performent mieux que leurs homologues univariées avec, à chaque fois, un pourcentage de dépassement plus proche de 5%. Nous retiendrons ici les mesures de VaR ARMA-eGARCH avec repricing et de VaR Historique bivariée.

Sur 3 ans :

var.95<-merge(delta[[1]][,5],delta[[1]][,7], cf[[1]][,5], cf[[1]][,7], model[[3]][,3] ,model[[1]][,3], histo[[1]][,3], histo_mv[[1]][,3], mc_n[[1]][,3], mc_n_bv[[1]][,3], mc_std_bv[[1]][,3])
var.95<-comparison(var.95, opt_returns$rdt)["/20180831"]
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatiltié RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatiltié GARCH(1,1)","ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged repricing", "Historique univariée", "Historique bivariée", "Monte-Carlo normale univariée", "Monte-Carlo normale bivariée", "Monte-Carlo Student-4 bivariée")
n<-length(index(var.95))
p.table.back(tests(var.95, names, 0.95, n), "Tests statistiques sur les VaRs de l'option sur le S\\&P500 à 95\\% (2015-2018)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 5, 11)

On réalise ici le même constat que précédemment avec en prime un avantage pour la VaR ARMA-eGARCH avec repricing qui performe un peu mieux que l’Historique bivariée.

9.2.1. VaRs à 99%

var.99<-merge(delta[[1]][,6],delta[[1]][,8], cf[[1]][,6], cf[[1]][,8], bbm[[1]][,1], pot[[1]][,3], pot[[1]][,4], model[[3]][,4] ,model[[1]][,4], histo[[1]][,4], histo_mv[[1]][,4], mc_n[[1]][,4], mc_n_bv[[1]][,4], mc_std_bv[[1]][,4])
var.99<-comparison(var.99, opt_returns$rdt)
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatiltié RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatiltié GARCH(1,1)", "Maxima par blocs", "Peaks-Over-Treshold volatilité RiskMetrics", "Peaks-Over-Treshold volatilité GARCH(1,1)", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged","ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged repricing", "Historique univariée", "Historique bivariée", "Monte-Carlo normale univariée", "Monte-Carlo normale bivariée", "Monte-Carlo Student-4 bivariée")
n<-length(index(var.99))
p.table.back(tests(var.99, names, 0.99, n), "Tests statistiques sur les VaRs de l'option sur le S\\&P500 à 99\\% (2015-2020)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 8, 14)

Au niveau 99% ce sont les deux VaRs, Historique bivariée et Monte-Carlo normale bivariée qui performent le mieux en réussissant l’ensemble des tests. Les autres VaRs par simulation étant trop conservatrices.

Sur 3 ans :

var.99<-merge(delta[[1]][,6],delta[[1]][,8], cf[[1]][,6], cf[[1]][,8], bbm[[1]][,1], pot[[1]][,3], pot[[1]][,4], model[[3]][,4] ,model[[1]][,4], histo[[1]][,4], histo_mv[[1]][,4], mc_n[[1]][,4], mc_n_bv[[1]][,4], mc_std_bv[[1]][,4])
var.99<-comparison(var.99, opt_returns$rdt)["/20180831"]
names<-c("Delta-normale volatilité RiskMetrics", "Delta-normale volatilité GARCH(1,1)", "Cornish-Fisher volatiltié RiskMetrics", "Cornish-Fisher volatiltié GARCH(1,1)", "Maxima par blocs", "Peaks-Over-Treshold volatilité RiskMetrics", "Peaks-Over-Treshold volatilité GARCH(1,1)", "ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged","ARMA(3,3)-eGARCH(2,1) sged repricing", "Historique univariée", "Historique bivariée", "Monte-Carlo normale univariée", "Monte-Carlo normale bivariée", "Monte-Carlo Student-4 bivariée")
n<-length(index(var.99))
p.table.back(tests(var.99, names, 0.99, n), "Tests statistiques sur les VaRs de l'option sur le S\\&P500 à 99\\% (2015-2018)", c(" "=1, "Traffic Light" = 3, "Kupiec"=1, "Christoffersen" =1), 8, 14)

Cette fois-ci, seule la VaR Historique bivariée réussit les tests. C’est donc celle-ci que l’on retiendra.